Question

（2010•廣東模擬）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中主視圖、側視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形．E是側棱PC上的動點．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）若E是PC的中點，且五點A，B，C，D，E在同一球面上，求該球的表面積．

Answer 1

分析：（1）證明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，證明BD⊥面PAC，即可證明BD⊥AE．
（2）幾何體的外接球就是擴展為正方體的外接球，求出球的半徑，即可求該球的表面積．

解答：解：（1）證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因為BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．…（7分）
（2）解：以正方形ABCD為底面，EC為高補成正方體，此時對角線EA的長為球的直徑，
∴2R=EA=

1+1+1

=

3

，
S_球=4πR²=3π．…（14分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面垂直，直線與直線垂直的證明，幾何體的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力，計算能力．