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設x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C上兩點AB，滿足（1）直線AB過點（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．
（Ⅰ）令M（x，y），F(xiàn)1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）
則
a
=
F1M
，
b
=
F2M

即|
a
|+|
b
|=|
F1M
|+|
F2M
|
即|
F1M
|+|
F2M
|=8
又∵|
F1F2
|=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求軌跡方程為
y2
16
+
x2
12
=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設AB方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
則
y=kx+3
y2
16
+
x2
9
=1
⇒（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）
x1+x2=-
18k
3k2+4
，x1•x2=-
-21
3k2+4

y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
36-48k2
3k2+4

∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB⇒
OA
•
OB
=0（10分）
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
5
4

所求直線方程為y=±
5
4
x+3（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點P的軌跡方程為（　　）
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準線過雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個焦點，則雙曲線的離心率為（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點，離心率e=
1
2
，一個短軸的端點（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個交點為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C1的右焦點F2與拋物線C2交于A1，A2兩點，如果弦長|A1A2|等于△PF1F2的周長，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三角形ABC的兩頂點A（-2，0），B（0，-2），第三頂點C在拋物線y=x2+1上，求三角形ABC的重心G的軌跡．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

[理]如圖，已知動點A，B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的實線上運動，若AB∥x軸，點N的坐標為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是______．
[文]點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點為P（1，0），過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點為F，過F點的直線l交拋物線與A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線C2的切線交于Q點，且Q點在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時的拋物線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2是其左右焦點，其離心率是
6
3
，P是橢圓上一點，△PF1F2的周長是2（
3
+
2
）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點的個數(shù)．

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同步練習冊答案
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