Question

解答題： 某油庫已儲油料a噸，按計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25%，以后每年的進油量為上一年底儲油量的25%，且每年運出b噸，設an為正式運營后第n年底的儲油量． (1) 求an的表達式并加以證明； (2) 為抵御突發事件，該油庫年底儲油量不得少于a噸，如果b＝a噸，該油庫能否長期按計劃運營，如果可以請加以證明，如果不行請說明理由．(取lg2＝0.30,lg3＝0.48)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依題意，油庫原有儲油量為a噸，則 a1＝a－b, a2＝a1－b＝()2a－(＋1)b a3＝a2－b＝()3a－[()2＋＋1]b， 推測：an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b． ＝()na－4[()n－1]b(n∈．N)．…………4分 用數學歸納法證明． (1)當n＝1時，a1＝a－4[－1]b＝a－b,推測成立．…………5分 (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N)時，ak＝()ka－4[()k－1]b成立． 當n＝k＋1時，依題意ak＋1＝ak－b． ∴ak＋1＝{()ka－4[()k－1]b}－b ＝()k＋1a－4[()k＋1－]b－b ＝()k＋1a－4[()k＋1－1]b 即當n＝k＋1時，推測也成立． 由(1)(2)知，對于n∈N，推測成立．…………8分
(2)	解：如果b＝a噸時，該油庫第n年年底儲油量不少于a噸，即 ()na－4[()n－1]·a≥a．…………11分 即()n≤3． n≤＝＝＝＝4.8． 說明該油庫只能在5年內運營，因此不能長期運營．…………13分