Question

過P（1，0）做曲線C：xy=1，x∈（0，+∞），的切線，切點為Q₁，設Q₁在x軸上的投影為P₁，又過P₁做曲線C的切線，切點為Q₂，設Q₂在x軸上的投影為P₂，…，依次下去得到一系列點Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的橫坐標為a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求證數列{a_n}是等比數列．
（3）設bn=

16an+13

16an-3

，問是否存在實數m，使得對于任意的正整數M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設切點Q_n（a_n，a_n^k），根據導數的幾何意義可求切線方程，當n=1時由切線過點P（1，0）可求a₁
（2）由切線過點P_n-1（a_n-1，0），代入整理可得

an

an-1

=

1

2

，可證
（3）由bn=

16an+13

16an-3

=1+

1

an- 3 16

，構造函數y=1+

1

t- 3 16

，t=(

1

2

)x，由復合函數單調性可求數列{b_n}的最大項與最小項，而|b_M-b_N|＜|b_{n（最大值）}-b_{n（最小值）}|，可求m

解答：解：（1）y'=-x^-2，若切點是Q_n（a_n，a_n^k），
則切線方程為y-a_n^-1=-a_n^-2（x-a_n）．
當n=1時，切線過點P（1，0）
即0-a₁^-1=-a₁^-2（1-a₁）．得a1=

1

2

．
（2）當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0）
即0-a_n^-1=-a_n^-2（a_n-1-a_n）．得

an

an-1

=

1

2

．
∴數列{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列．
∴an=(

1

2

)n．…（6分）
（3）bn=

16an+13

16an-3

=1+

1

an- 3 16

令y=1+

1

t- 3 16

，t=(

1

2

)x（8分）
由復合函數單調性可知
當0＜x＜log

1

2

3

16

時，y＜0．且單調遞增．
當x＞log

1

2

3

16

時，y＞0．且單調遞增．
所以當an=

4

16

，即n=2，時，b₂=17為最大值
當an=

2

16

，即n=3，時，b₃=-15為最小值            （13分）
|b_M-b_N|＜|b₃-b₂|=32
所以m＞32                               …（15分）

點評：本題主要考查了利用函數的導數求解曲線在某點的切線方程，等比數列通項公式的求解及利用復合函數單調性判斷數列的單調性進而求解數列的最大項及最小項，屬于函數與數列知識的綜合應用．