Question

已知函數(shù)，點(diǎn)、在函數(shù)的圖象上，
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，設(shè)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；
（3）已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小．

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）當(dāng)時(shí),；
當(dāng)時(shí)，;
當(dāng)時(shí)，.

試題分析：（1）把點(diǎn)點(diǎn)、代入中，點(diǎn)代入函數(shù)中，可得，然后利用疊加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出
，即，所以最后分類討論比較與的大小即可.
試題解析：（1）由題有： 
3分
（2），

                                                 8分
（3），，
由知
， 而，所以可得．
于是
．
當(dāng)時(shí) ；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
下面證明：當(dāng)時(shí)，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當(dāng)時(shí)，
 
∴當(dāng)時(shí)，   13分
證法二：（數(shù)學(xué)歸納法）證明略
證法三：（函數(shù)法）∵時(shí)，
構(gòu)造函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，
∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，
∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，
從而時(shí)，，即∴當(dāng)時(shí)，