Question

已知冪函數f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數，且在區間(0，＋∞)上是單調增函數．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設函數g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2對任意的x∈R恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

 (1)∵f(x)在區間(0，＋∞)上是單調增函數，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函數y＝m2－2m－3的圖象(圖略)觀察圖象知－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2時，f(x)＝x3不是偶函數，m＝1時，f(x)＝x4是偶函數．

∴f(x)＝x4.

(2)由(1)知f(x)＝x4，則g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．

∵g(x)>2對任意的x∈R恒成立，

∴g(x)min>2，且x∈R，則c－1>2，解得c>3.

故實數c的取值范圍是(3，＋∞)．