Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點，求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）先證出直線AB與平面上的兩條相交直線垂直，可得到線面垂直；
（2）利用線面垂直，根據面面垂直的判定，可得面面垂直；
（3）在AB上取一點F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE，取DC的中點H，連AH、EH，根據G為△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH，再說明線在平面上，得到結論．

解答：（1）證明：∵BC=AC，E為AB的中點，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E為AB的中點
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE；
（2）證明：由（1）有AB⊥平面DCE，
又∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（3）解：在AB上取一點F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE

取DC的中點H，連AH、EH
∵G為△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE．

點評：本題考查空間幾何體的點線面之間的關系的證明，本題解題的關鍵是熟練所學的判定定理和性質定理，這里反復使用定理來解題．