Question

（本小題滿分14分）已知動圓過定點，且與直線相切，橢圓的對稱軸為坐標軸，一個焦點為，點在橢圓上.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程及橢圓的方程；
(2)若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點，試求當面積取到最大值時直線的方程.

Answer 1

(1) 軌跡的方程；橢圓方程為 (2)

試題分析：（1）過圓心M作直線的垂線，垂足為H.
由題意得，|MH|=|MF|,由拋物線定義得，點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為....................3分
設橢圓方程為，將點A代入方程整理得解得 .故所求的橢圓方程為...............5分
（2）軌跡的方程為，即.
則，所以軌跡在處的切線斜率為，......7分
設直線方程為，代入橢圓方程得

因為 ，解得；............9分
設
所以
點A到直線的距離為................12分.
所以
當且僅當，即時等號成立，此時直線的方程為
..................................14分
點評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關點法、參數法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關鍵是條件的轉化——轉化成某一已知曲線的定義條件。