Question

設A、B是非空數集，若對任意x∈A，y∈B，都有唯一確定的f（x，y）與之對應，則稱f（x，y）為關于x，y的二元函數，現定義滿足下列性質的二元函數f（x，y）為關于實數x，y的廣義“距離”．
（1）非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y時取等號；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實數z均成立．
給出下列三個二元函數：
①f（x，y）=

x-y

；②f（x，y）=（x-y）²；③f（x，y）=|x-y|．
其中能夠成為關于x，y的廣義“距離”的函數的序號是

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：閱讀型,新定義

分析：先理解所給的定義，根據其中的三個規則百負性，對稱性，三角不等式對所給的四個函數進行驗證，找出符合條件的函數，填上它的序號

解答： 解：由所給的定義
對于①，由于x-y＞0時，f（x，y）=

x-y

；無意義，故①不對；
∵②f（x，y）=（x-y）²；
∴滿足非負性，對稱性，
但是x，y互為異號時，z=0時，不滿足（x-y）²≤x²+y²，∴不滿足三角形不等式，
故②不正確，
對于③f（x，y）=|x-y|，顯然f（x，y）≥0，當且僅當x=y時取等號，故滿足非負性，又|x-y|=|y-x|，故對稱性成立，又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|，故第三個性質也滿足，③符合題意
故答案為：③

點評：本題考查抽象函數及其應用，解題的關鍵是理解所給的定義，根據定義的規則進行判斷，本題是一個探究型題，一定要對定義理解透徹，嚴格按定義中所給的規則進行判斷，本題考查了推理判斷的能力及符號計算的能力