Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的導數，若f′′（x）=0有實數解x，則稱點（x，f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．現已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數都成立的有關“拐點”的一個結論（此結論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數解析式求拐點的坐標．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=1³-3+2-2=-2∴拐點A（1，-2）…（3分）
（2）設P（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點，則y=x³-3x²+2x-2，因為P（x，y）關于A（1，-2）的對稱點為P'（2-x，-4-y），
把P'代入y=f（x）得左邊=-4-y=-x³+3x²-2x-2
右邊=（2-x）³-3（2-x）²+2（2-x）-2=-x³+3x²-2x-2∴右邊=右邊∴P′（2-x，-4-y）在y=f（x）圖象上∴y=f（x）關于A對稱        …（7分）
結論：①任何三次函數的拐點，都是它的對稱中心
②任何三次函數都有“拐點”
③任何三次函數都有“對稱中心”（寫出其中之一）…（9分）
（3）設G（x）=ax³+bx²+d，則G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax³+bx²+1，G'（x）=3ax²+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax³+1=0…（11分）
法一：======…（13分）
當a＞0時，
當a＜0時，…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，當a＞0時，且x＞0時，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）為凹函數，∴…（13分）
當a＜0時，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）為凸函數∴…（14分）
點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件．屬于中檔題．