Question

【題目】已知函數.

（1）若的定義域，值域都是，求的值；

（2）當時，討論在區間上的值域.

Answer 1

【答案】（1）實數不存在在；（2）當時，值域為：；

當，值域為；

當時，值域為：.

【解析】

（1）根據對數的真數大于零，結合已知和一元二次不等式解集的性質、對數函數的單調性進行求解即可；

（2）根據復合函數的單調性，結合所給的區間，分類討論進行求解即可.

（1）因為的定義域是，所以在實數集上恒成立，故一元二次方程的根的判別式；

的值域是，說明能取遍所有的正實數，因此一元二次方程的根的判別式，顯然這與剛得到矛盾，故不存在這樣的實數；

（2）因為，所以，函數的定義域為不等于1的全體實數，故區間的右端點不能等于1，即且，顯然函數在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，函數在上是減函數，故函數的最大值為，函數的最小值為：，因此函數的值域為：；

當，函數沒有單調性，故函數的最大值為，而，所以函數的值域為；

當時，函數的最大值為：，而，所以函數的值域為：

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