Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(

3

，

1

2

)，離心率是

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點(diǎn)E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用所給條件列出方程組，解出即可；
（2）易判斷直線l不存在斜率時(shí)不合題意，當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|EA|=2|EB|可得關(guān)于x₁，x₂的方程，連同韋達(dá)定理聯(lián)立方程組即可求得k值；

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由已知可得

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2.

，解得a²=4，b²=1．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由已知，①若直線l的斜率不存在，則過點(diǎn)E（-1，0）的直線l的方程為x=-1，
此時(shí)A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)，顯然|EA|=2|EB|不成立．
②若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．
則

x2 4 +y2=1 y=k(x+1).

，整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=-

8k2

4k2+1

，①x1x2=

4k2-4

4k2+1

． ②
因?yàn)閨EA|=2|EB|，所以

EA

=-2

EB

，則x₁+2x₂=-3．③
①②③聯(lián)立解得k=±

15

6

．            
所以直線l的方程為

15

x+6y+

15

=0和

15

x-6y+

15

=0．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，有一定綜合性．