Question

已知函數f(x)=a^x+ (a>1). 

(1)證明:函數f(x)在(－1，+∞)上為增函數.

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.

Answer 1

證明略

解析:

(1）設－1＜x₁＜x₂＜+∞,則x₂－x₁>0, >1且>0,

∴>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=+ >0

∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數. 

(2）證法一:設存在x₀＜0(x₀≠－1)滿足f(x₀)=0,

則且由0＜＜1得0＜－＜1,

即＜x₀＜2與x₀＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.

證法二: 設存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,

則＜－2,＜1,∴f(x₀)＜－1與f(x₀)=0矛盾，

若x₀＜－1,則>0, >0，

∴f(x₀)>0與f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.