Question

（12分）已知在數列中，，是其前項和，且

（I）求；(II)證明：數列是等差數列；

 (III)令，記數列的前項和為.求證：當時， 。

 

Answer 1

【答案】

（I）；(II)見解析； (III)見解析.

【解析】（1）令，代入可求出；

（2）代入整理得，所以數列是等差數列；

（3）由（1），（2）可求得，。所以。當時，；兩邊平方整理得。疊加得

，放縮求得，即證得結論。

（I）；

(II)由條件可得，

兩邊同除以，得：

所以：數列成等差數列，且首項和公差均為1

 (III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.

當時，

平方則

疊加得

   又

=