Question

設角A，B，C為△ABC的三個內角．
（Ⅰ）若

2

sin²

A

2

+sin

B+C

2

=

2

，求角A的大小；
（Ⅱ）設f（A）=sinA+2sin

A

2

，求當A為何值時，f（A）取極大值，并求其極大值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，

2

sin²

A

2

+sin

π+A

2

=

2

，
即

2

sin²

A

2

+cos

A

2

=

2

，
所以

2

（1-cos2

A

2

）+cos

A

2

=

2

，
即cos

A

2

（

2

cos

A

2

-1）=0．
在△ABC中，因為0＜A＜π，則0＜

A

2

＜

π

2

，
所以cos

A

2

≠0，從而cos

A

2

=

2

2

．
從而

A

2

=

π

4

，即A=

π

2

．
（Ⅱ）因為f′（A）=cosA+cos

A

2

=2cos2

A

2

+cos

A

2

-1=（2cos

A

2

-1）（cos

A

2

+1），
因為0＜A＜π，則cos

A

2

+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos

A

2

＞

1

2

，
所以0＜

A

2

＜

π

3

，即0＜A＜

2π

3

．
所以當A∈（0，

2π

3

）時，f（A）為增函數；
當A∈（

2π

3

，π）時，f（A）為減函數．
故當A=

2π

3

時，f（A）取極大值，
且極大值為f（

2π

3

）=

3 3

2

．