Question

【題目】設,函數.

（1）證明在上僅有一個零點；

（2）若曲線在點處的切線與軸平行,且在點處的切線與直線平行,(O是坐標原點),證明:

Answer 1

【答案】（1） 在 上有且只有一個零點 （2）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）證明函數單調，再應用零點存在性定理證明只有一個零點；（2）利用處的切線與軸平行，解得，再利用處的切線與直線平行，解得，觀察證明結論，可知，所以令，通過求導最后解得，則，得證。

試題解析：

（1）， ，

在上為增函數．

， ，

又，

，即，

由零點存在性定理可知， 在上為增函數，且，

在上僅有一個零點。

（2），設點，則，

在點處的切線與軸平行， ， ，

， ，

點處切線與直線平行，

點處切線的斜率，

又題目需證明，即，

則只需證明，即。

令，則，

易知，當時， ，單調遞減，

當時， ，單調遞增，

，即，

，

，得證。