Question

已知函數f（x）=（a＜0）．
（I）當a=-4時，試判斷函數f（x）在（-4，+∞）上的單調性；
（II）若函數f（x）在x=t處取到極小值，
（i）求實數t的取值集合T；
（ii）問是否存在整數m，使得m≤f（t）≤m+1對于任意t∈T恒成立．若存在，求出整數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）求導函數可得
當a=-4時，≥0對x∈（-4，+∞）恒成立
∴函數f（x）在（-4，+∞）上為增函數；
（II）（i）∵函數f（x）在x=t處取到極小值，
∴t²-at-a=0
∴a²+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由得t＜-1
∵函數f（x）在x=t處取到極小值
∴
∴
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4時遞減
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴實數t的取值集合T=（-2，-1）；
（ii）設h（t）=f（t）=×（t+1）e^t=t²e^t，
∴h′（t）=t（t+2）e^t，
∴當-2＜t＜-1時，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上遞減
∴
∴存在m=0，使得m≤f（t）≤m+1對于任意t∈T恒成立．
分析：（I）求導函數，當a=-4時，≥0對x∈（-4，+∞）恒成立，從而可得結論；
（II）（i）根據函數f（x）在x=t處取到極小值，a＜0，可得a＜-4，由得t＜-1，根據，可得g（a）在a＜-4時遞減，由此可求實數t的取值集合；
（ii）設h（t）=f（t）=×（t+1）e^t=t²e^t，可得h（t）在（-2．-1）上遞減，從而可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的極值，正確求導是關鍵．