Question

設復數z₁，z₂在復平面上（O為原點）對應的點分別為Z₁（sinθ，1），Z₂（1，cosθ），其中-＜θ＜，
（1）若⊥，求θ；
（2）若=+，求點Z的軌跡的普通方程；并作出軌跡示意圖．
（3）求|OZ₁+OZ₂|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩個向量之間的垂直關系，得到對應的向量的數量積等于0，得到關于三角函數的等式，求出正切值，根據角的范圍得到角的大小．
（2）根據復數相等的充要條件，寫出復數的實部和虛部分別相等，得到關于三角函數的等式，去掉字母參數，得到圓的方程，根據三角函數做出x，y的范圍，畫出圖形．
（3）要求模長的最值．需要根據所給的復數的表示形式，求出復數的模長的表示式，根據三角函數的最值的求法，得到復數的模長的最值．
解答：2解（1）∵由⊥，知•=0
∴sinθ+cosθ=0
∴tanθ=-1      
∵-＜θ＜
∴
（2）設Z（x，y）
則有（x，y）=（sinθ，1）+（1，cosθ）        
=（1+sinθ，1+cosθ）
∴，中-＜θ＜

消去θ得：（x-1）²+（y-1）²=1（1＜y≤2）
（3）|OZ₁+OZ₂|=

∵-＜θ＜
∴       
∴-
可求得|OZ₁+OZ₂|的最大值為
點評：本題考查復數與向量的綜合題目，考查復數的幾何意義，考查三角函數的最值和恒等變形，本題解題的關鍵是題目的每一個環節都不是難題，但是容易在這種小的細節處出錯，本題是一個易錯題．