Question

（本題滿分13分）在直角坐標平面內，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線的極坐標方程是，曲線的參數方程是（為參數，），求曲線上的點和曲線上的點之間距離的取值范圍．

Answer 1

曲線上的點和曲線上的點之間的距離的取值范圍是

解：由得曲線的直角坐標方程為，是一直線                                               ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由化簡得，又，∴，
∴曲線的直角坐標方程為（，），它是以原點為圓心，半徑為，在第四象限的四分之一圓                 ．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴圓心到直線的距離
由圖像可知，當直線與四分之一圓相切時，曲線上的點和曲線上的點之間的距離最短，最短距離為                              ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
當取曲線上的點為或時，曲線上的點和曲線上的點之間的距離最長，此時點或到直線的距離為．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴曲線上的點和曲線上的點之間的距離的取值范圍是                                   ．．．．．．．．．．．．．．．．13分