Question

若函數f（x）滿足：在定義域內存在實數x，使f（x+k）=f（x）+f（k）（k為常數），則稱“f（x）關于k可線性分解”
（1）函數f（x）=2^x+x²是否關于1可線性分解？請說明理由；
（2）已知函數g（x）=lnx-ax+1（a＞0）關于a可線性分解，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，當a取最小整數時，求g（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）=2^x+x²關于1可線性分解．理由如下：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2．
由零點存在定理可得：存在零點x∈（0，1），使得h（x）=0，即f（x+1）=f（x）+f（1）．
（2）由題意，存在x，使g（x+a）=g（x）+g（a），化為ln（x+a）=lnx+lna+1，即，
可得，利用x＞0及a＞0，即可解得a的取值范圍．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1.．分別解出g′（x）＜0與g′（x）＞0的x的取值范圍即可得出其單調區間．
解答：解：（1）函數f（x）=2^x+x²關于1可線性分解．理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1，
化為h（x）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2，
∴存在零點x∈（0，1），使得h（x）=0，即f（x+1）=f（x）+f（1）．
（2）由題意，存在x，使g（x+a）=g（x）+g（a），
即ln（x+a）-a（x+a）+1=，
化為ln（x+a）=lnx+lna+1，即，
∴，解得，
由a＞0，得．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1．
．
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，∴g（x）的單調遞增區間是（0，1）；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）的單調遞減區間是（1，+∞）．
點評：正確理解“f（x）關于k可線性分解”的意義，熟練掌握利用導數研究函數的單調性的方法、零點存在定理、對數的運算法則等是解題的關鍵．