Question

已知函數f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1），設函數g(x)=f(x-

1

2

)+1．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）求g（x）+g（1-x）及g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )的值；
（3）是否存在正整數a，使不等式

a •g(n)

g(1-n)

＞n2對一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整數a的最小值；不存在，說明理由；
（4）結合本題加以推廣：設F（x）是R上的奇函數，請你寫出一個函數G（x）的解析式；并根據第（2）小題的結論，猜測函數G（x）滿足的一般性結論．

Answer 1

（1）任取x∈R，于是f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，所以f（x）是奇函數． …（3分）
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1，…（4分）
g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+f(-x+

1

2

)+2=2．…（6分）g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )=g( 0 )+g( 1 )+g( 

1

4

 )+g( 

3

4

 )+g( 

1

2

 )=2+2+1=5．
（3）假設存在正整數a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2對一切n∈N^*都成立．
由g(n)=

2an

an+ a

，g(1-n)=1-g(n)=

2 a

a +an

，得

a •g(n)

g (1-n)

=

a •2an

2 a

=an．…（10分）
當a=1和a=2時，不等式aⁿ＞n²顯然不成立．…（11分）
猜想當a≥3時，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…（12分）
下面證明3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立：
①當n=1時，顯然3＞1．
②當n≥2時，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．（14分）
則3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數a=3．…（15分）
證法二：
①當n=1時，3＞1，當n=2時，9＞4，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時，3^k＞k²，
則當n=k+1時，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…（14分）
則3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數a=3．…（15分）
（4）如設F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…（16分）
則函數G（x）滿足的一般性結論為G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…（18分）
形如設G（x）=F（x-a）+b．G（x）滿足的性質為：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或G(x)=F( x-

1

2

 )+b則G( 0 )+G( 

1

n

 )+G( 

2

n

 )+G( 

3

n

 )+…+G( 1 )=(n+1)b等…（18分）