【題目】三棱柱
中，
為
的中點，點
在側棱
上，
平面
.
（1）證明：是的中點；
（2）設
，四邊形
為正方形，四邊形
為矩形，且異面直線
與
所成的角為30°，求兩面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）二面角
的余弦值為
.
【解析】
（1）取
的中點
，利用中位線得出
利用線面平行的判定，得出
平面
，利用面面平行的判定得出平面
平面進而得出
而為
的中點，所以
為
的中點。
（2）建立直角坐標系，設
，
，利用異面直線
與
所成的角為30°,求出
進而求出二面角
的余弦值。
（1）證明：取的中點，連
、
，因為
為
中點，所以
.
平面，
平面，平面.
又由已知
平面，
且
，所以平面平面.
又
平面
，所
平面.
而平面
，且平面
平面
，所以，而為的中點，所以為的中點.
（2）由題設知：
、
、
兩兩垂直，以為
軸，
為
軸，為
軸，建立空間直角坐標系
.
設，，則
，
，
，
，
，
所以
，
.因為異面直線與所成的角為30°，
所以
，解得：，于是
.
設平面的法向量為
，因為
，
所以
，取
，則
，所以
.
又
是平面
的一個法向量，所以
，
即二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區不同身高
的未成年男性的體重平均值
如下表：
身高x（cm） | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
體重y(kg) | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 | 20.92 | 26.86 | 31.11 |
已知
與
之間存在很強的線性相關性，
（Ⅰ）據此建立
與之間的回歸方程；
（Ⅱ）若體重超過相同身高男性體重平均值的
倍為偏胖，低于
倍為偏瘦，那么這個地區一名身高
體重為
的在校男生的體重是否正常？
參考數據：
附：對于一組數據
，其回歸直線
中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的內角
、
、
的對邊分別為
、
、
，
為內一點，若分別滿足下列四個條件：
①
；
②
；
③
；
④
；
則點分別為的（ ）
A.外心、內心、垂心、重心B.內心、外心、垂心、重心
C.垂心、內心、重心、外心D.內心、垂心、外心、重心
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+
)，則下面結論正確的是( )
A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移
個單位長度，得到曲線C2
B. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移
個單位長度，得到曲線C2
C. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的
倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，兩鐵路線垂直相交于站
，若已知
千米，甲火車從站出發，沿
方向以
千米
小時的速度行駛，同時乙火車從
站出發，沿
方向，以
千米小時的速度行駛，至站即停止前行（甲車扔繼續行駛）（兩車的車長忽略不計）.
（1）求甲、乙兩車的最近距離（用含的式子表示）；
（2）若甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近時所用時間為
小時，問為何值時最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設{an}是公比為 q的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）設{bn}是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機APP軟件層出不窮.現從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統計，得到頻率分布直方圖如下.
（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達時間”為18分鐘。現從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調研，求甲商家被抽到的概率；
（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數及平均數；
（3）如果以“平均送達時間”的平均數作為決策依據，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？
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