Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，短軸長為2．
（1）求橢圓方程；
（2）若橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，經過點(0，

2

)且斜率k的直線l與橢圓交于不同的兩點P、Q．是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由已知得

2b=2 c a =1 a2=b2+c2

?

a= 2 b=1 c=1

故橢圓方程是

x2

2

+y2=1（4分）
（2）由已知條件，直線l：y=kx+

2

，代入橢圓方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（6分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B（0，1），

AB

=(-

2

，1)，
所以

OP

+

OQ

與

AB

共線等價于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=

2

2

，（10分）
又k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故沒有符合題意的常數k．（12分）