Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別F₁、F₂，O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上異于頂點的任一點，△PF₁F₂的內切圓的圓心為I，且⊙I與x軸相切于點A，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，若e為雙曲線的離心率，下面八個命題：
①△PF₁F₂的內切圓的圓心在直線x=b上；    
②△PF₁F₂的內切圓的圓心在直線x=a上；
③△PF₁F₂的內切圓的圓心在直線OP上；     
④△PF₁F₂的內切圓必通過點（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；        
⑥|OB|=|OA|；        
⑦|OA|=e|OB|；        
⑧|OA|與|OB|關系不確定．
其中正確的命題的代號是

②，④，⑥

．

Answer 1

分析：利用切線長定理，結合雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點A的橫坐標．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．

解答：解：根據題意得F₁（-c，0）、F₂（c，0），
設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A₁、B₁，與F₁F₂切于點A，
則|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，
又點P在雙曲線右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁A|-|F₂A|=2a，而|F₁A|+|F₂A|=2c，
設A點坐標為（x，0），
則由|F₁A|-|F₂A|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，則△PF₁F₂的內切圓必通過點（a，0），△PF₁F₂的內切圓的圓心在直線x=a上，
故②，④正確．
由于|OA|=a，在三角形PCF₂中，由題意得，三角形PCF₂是一個等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a．
∴|OB|=|OA|．⑥正確．
故答案為：②，④，⑥．

點評：本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關鍵是充分利用平面幾何的性質，如三角形內心的性質等．