Question

（2009•黃浦區(qū)一模）已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出a，b的關(guān)系式，再結(jié)合a、b是正整數(shù)，即可求出a，b 的值，最后寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先判斷出f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，取值作差，通分化簡判定出符號，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的圖象過點(diǎn)(1，3)，知3=a+

2

1+b

，(3-a)(b+1)=2．…（2分）
又a、b均為正整數(shù)，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有

3-a=1 b+1=2

，即

a=2 b=1

．…（7分）
所以f(x)=2x+

2

x+1

（x≠-1）．…（8分）
（2）結(jié)論：f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是減函數(shù)．…（9分）
證明  設(shè)x₁、x₂是（-1，0]內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂．…（10分）
則f(x1)-f(x2)=2x1+

2

x1+1

-(2x2+

2

x2+1

)…（11分）
=2(x1-x2)+

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

．…（13分）
又-1＜x₁≤0，-1＜x₂≤0，x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，1+x₂＞0，x₂+x₁（1+x₂）＜0．（14分）
于是，2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）．…（16分）
所以，函數(shù)f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及分式函數(shù)符號的判定，屬于基礎(chǔ)題．