Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．

（Ⅰ）證明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，則DF= DC=1=BE，

∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF，

∴四邊形BEDF是矩形，

∴BF⊥DC，BF=ED=1，

在Rt△BCF中，BC= = ．

在△ACB中，∵AB=2，BC=AC= ，

∴BC2+AC2=AB2，

∴AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE．

（Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．

又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB．

∴∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．

在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°．

∴EM= =MB．

在Rt△ACM中， = = ．

在Rt△AEM中， = = ．

【解析】91）根據勾股定理的逆定理可知AC⊥BC，由已知平面ABC⊥平面BCDE并且兩平面相交于BC，根據直線和平面垂直的判定定理可知AC⊥平面BCDE。（2）根據題意作出輔助線，可證明EM⊥平面ACB進而可得∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角，根據幾何關系可求出tan的值。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．