Question

【題目】已知函數f（x）=ex+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．
（1）當a=0時，討論函數f（x）的單調區間；
（2）當b=﹣1時，若f（x）＞0對任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=ex+be﹣x，f′（x）=ex﹣ ，

當b≤0時，f′（x）＞0恒成立，即此時函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞）；

當b＞0時，令f′（x）=0，解得：x= lnb，

當x＜ lnb時f′（x）＜0恒成立，x＞ lnb時f′（x）＞0，

∴此時函數f（x）的單調遞減區間為（﹣∞， lnb）；函數f（x）的單調遞增區間為（ lnb，+∞）

（2）解：當b=﹣1時，函數f（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，

又∵當x∈（0，π）時sinx＞0，

∴f（x）＞0對任意x∈（0，π）恒成立等價于a＜ 恒成立，

記g（x）= ，其中0＜x＜π，則g′（x）= ，

令h（x）=ex（sinx﹣cosx）+e﹣x（sinx+cosx），則h′（x）=2（ex﹣e﹣x）sinx＞0，

∴h（x）在（0，π）上單調遞增，h（x）＞h（0）=0，

∴g′（x）＞0恒成立，從而g（x）在（0，π）上單調遞增，g（x）＞g（0），

由洛必達法則可知，g（0）= = =1，

∴a≤1，即a的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）當a=0時求導可知f′（x）=ex﹣ ，分b≤0與b＞0兩種情況討論即可；（2）通過分離參數可知條件等價于a＜ 恒成立，進而記g（x）= ，問題轉化為求g（x）在（0，π）上的最小值問題，通過二次求導，結合洛必達法則計算可得結論．