Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（Ⅰ）設，試求函數的表達式；

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

【解析】

，結合

進而得到，由于，于是得到，求出的取值范圍，進 ，

 ∴切線的方程為：，

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

  （ * ）

，

化簡，得，

解法：依題意，當區間的長度最小時，

得到的最大值，即是所求值．

，長度最小的區間為

當時，與解法相同分析，得，