Question

已知數列{a_n}滿足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n（n∈N*）。
（1）李四同學欲求{a_n}的通項公式，他想，如能找到一個函數f（n）=A·2^n-1+B·n+C（A、B、C是常數），把遞推關系變成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通項了。請問：他設想的f（n）存在嗎？{a_n}的通項公式是什么？
（2）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²>p×3ⁿ 對任意n∈N*都成立，求實數p的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵
∴
所以只需
∵f（n+1）-3f（n）=-2Bn+（B-2C）
∴-A=1，-2B=-8，B-2C=0
∴A=-1，B=4，C=2
故李四設想的f（n）存在，
f（n）=
∴
∴。
（2）

∴
由得
p＜
設
則
當n≥6時，


∴n≥6時，
容易驗證，1≤n≤5時，
∴
∴p的取值范圍為。