Question

已知函數f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)
（1）若f（x）滿足f（-x）=-f（x），求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，判斷函數f（x）在[-1，1]上是否有零點，并說明理由；
（3）若函數f（x）在R上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義，由f（-x）=-f（x）采用比較系數法，可解出a=1；
（2）根據指數函數單調性，得f（x）=1-

2

2x+1

是R上的增函數．再由f（-1）＜0，f（1）＞0且f（0）=0，可得f（x）在[-1，1]上有唯一零點x=0；
（3）函數f（x）在R上有零點，即方程a=

2

2x+1

在R上有實數根．討論函數t═

2

2x+1

的單調性，可得它的值域為（0，2），由此即可得到f（x）在R上有零點時實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(-x)=

a•2-x+a-2

2-x+1

=

a+(a-2)•2x

1+2x

-f(x)=

-a•2x+(2-a)

2x+1

，且f（-x）=-f（x），
∴

a=2-a a-2=-a

，解之得a=1；
（2）∵a=1，∴f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∵t=

2

2x+1

是R上的減函數，∴f（x）是R上的增函數．
∵f（-1）=-

1

3

＜0，f（1）=

1

3

＞0，f（0）=0
∴f（x）在[-1，1]上有唯一零點x=0．
（3）f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

=a-

2

2x+1

∵函數f（x）在R上有零點，
∴方程a=

2

2x+1

在R上有實數根
∵t=

2

2x+1

上是減函數，2^x+1＞1
∴t=

2

2x+1

∈（0，2）
由此可得，當a∈（0，2）時，方程a=

2

2x+1

在R上有實數根
綜上所述，若函數f（x）在R上有零點，a的取值范圍是（0，2）．

點評：本題給出含有指數式的分式形式的函數，叫我們討論其奇偶性并求值域．著重考查了函數的奇偶性、基本初等函數的值域求法等知識，屬于基礎題．