Question

已知定義在區間[0，2]上的兩個函數f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g(x)=

2x

3

．
（1）求函數y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）配方確定函數的對稱軸，結合函數的定義域，進行分類討論，即可求出函數y=f（x）的最小值m（a），利用函數的單調性，可求g（x）的值域；
（2）對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，即使得f（x）_min＞g（x）_max，故可建立不等式組，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）配方得f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
當1≤a＜2時，m（a）=f（a）=4-a²，
當a≥2時，m（a）=f（2）=8-4a
∴m(a)=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

g（x）在區間[0，2]上單調遞增函數，
∴g(x)∈[0，

4

3

]．
（2）由題設，對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，即使得f（x）_min＞g（x）_max，
故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

為所求的范圍．

點評：本題考查二次函數的最值，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是將任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，轉化為f（x）_min＞g（x）_max．