Question

(本小題滿分14分)在周長為定值的中，已知，動點的運動軌跡為曲線G,且當動點運動時，有最小值.

(1) 以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，求曲線的方程；

(2) 過點作圓的切線交曲線于，兩點．將線段MN的長|MN|表示為的函數，并求|MN|的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：(1)設  ()為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，所以焦距.                      (2分)

因為

又 ，所以 ，由題意得 .

所以C點軌跡G 的方程為            (6分)

(2) .由題意知，|m|≥1.

當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點M，N的坐標分別為，，此時|MN|＝.

當m＝－1時，同理可知|MN|＝.                                 (7分)

當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k(x－m)，

由得(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0.            (8分)

設M，N兩點的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l與圓x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝.      (12分)

由于當m＝±1時，|MN|＝.

所以|MN|＝，m∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．

因為|MN|＝＝≤2，且當m＝±時，|MN|＝2.

所以|MN|的最大值為2.                                          (14分)

 

【解析】略