Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB邊上的一個動點（異于A、B兩點），過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N．設AP=x．
（1）在△ABC中，AB=

 

；
（2）當x=

 

時，矩形PMCN的周長是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等？請說出你的判斷，并加以說明．

Answer 1

分析：（1）由已知中在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6由勾股定理，可以求出AB的長；
（2）由已知中AP=x，我們可以分別求出MC，PN，MP，CN的長，進而得到矩形PMCN的周長的表達式，結合已知中矩形PMCN的周長是14，構造方程，解方程后即可得到對應x有值．
（3）分別求出△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積的表達式，分別求出使S_△PAM=S_△PBN的x值和使S_△PAM=S_PMCN的x值，判斷兩者是否相等，如果相等則存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等，否則，得到相反的結論．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
∴AB=

AC2+BC2

=10
（2）若AP=x，則MC=PN=

4

5

(10-x)，MP=CN=

3

5

x
則矩形PMCN的周長為16-

2

5

x
又∵矩形PMCN的周長是14
∴x=5
（3）∵AP=x，
∴△PAM的面積S_△PAM=

6

25

x²，
△PBN的面積S_△PBN=

6

25

（10-x）²，
矩形PMCN的面積S_PMCN=

12

25

x（10-x）
若S_△PAM=S_△PBN，則x²=（10-x）²，解得，x=5；
若S_△PAM=S_PMCN，則x²=2x（10-x），即x=

20

3

，
故不存在x的值，使△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等

點評：本題考查的知識點是勾股定理，三角形及矩形的面積公式，二次方程的解法，在（3）中求出△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積的表達式，是解答的關鍵．