Question

如圖，拋物線(xiàn)E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線(xiàn)E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線(xiàn)l交于不同的兩點(diǎn)M，N.

(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑．

 

Answer 1

（1）2.（2）

【解析】(1)拋物線(xiàn)y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x＝－1.

由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，

所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離d＝2，又|CO|＝，

所以|MN|＝2＝2＝2.

(2)設(shè)C，則圓C的方程為2＋(y－y0)2＝＋，

即x2－x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，

設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則

由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，

所以＋1＝4，解得y0＝±，此時(shí)Δ>0.

所以圓心C的坐標(biāo)為或，

從而|CO|2＝，|CO|＝，即圓C的半徑為.