Question

橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對頂圓錐面得到，它們都滿足曲線上的點到焦點的距離與到準線的距離之比為常數，即離心率e，定義上的統一，必然也蘊含著圖形統一，應該如何解釋這種現象呢？

Answer 1

思路:三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統一.探究:我們知道，橢圓時離心率e越大，橢圓越扁；雙曲線時離心率e越大，雙曲線開口越大.隨著e的增大，橢圓越變越扁，但左半部分開口越來越大，左頂點離l越來越近，而右頂點離F點越來越遠；當e趨近于1時，左頂點趨近于F與l間的中點，而右頂點趨向無窮遠處；當e=1時，我們可以大膽地認為右頂點在無窮遠處，此時曲線變為拋物線；當e＞1時，開口越來越大，右頂點超過無窮遠處并開始返回，此時曲線變為雙曲線兩支，或認為雙曲線兩支無限延伸交于無窮遠處，如圖3-3-3.

                                                        圖3-3-3

于是我們可以猜想：三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統一,這是一種無限的思想.

因為頂點（曲線與兩個坐標軸的交點）如A₁是圓錐曲線上的點，所以滿足=e，當e→1時，A₁向中點靠近；當e=1時，A₁位于中點；當e→＋∞時，A₁向N靠近.這里A₁只是的內分點，其實滿足=e還有一個外分點，即另一頂點A₂，滿足=－e.當e＜1時，圓錐曲線為橢圓，所以它的外分點A₂位于NF的延長線上；當e→1時，A₂離F點越遠；當e=1時，外分點不存在，或者我們就可以理解為A₂位于無窮遠處，所以拋物線只有一個頂點；當e＞1時，圓錐曲線為雙曲線，外分點A₂位于NF的反向延長線上；e→＋∞時，A₂從左側向N靠近.

    這也揭示了為什么橢圓有兩個頂點，拋物線只有一個頂點，雙曲線有兩個頂點，及它們之間的區別，你可以由此進一步理解圓錐曲線的內在統一性.