Question

已知函數(shù)f(x)=cos(x-

π

4

)．先把y=f（x）的圖象上所有點向左平移

π

4

個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=

3

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)，求f（2α）的值；
（3）設(shè)g₁（x），g₂（x）是定義域為R的兩個函數(shù)，滿足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常數(shù)，且θ∈[0，π]．請設(shè)計一個函數(shù)y=g₁（x），給出一個相應(yīng)的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換，寫出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)α的取值范圍求出sin2α，cos2α的值，再求f（2α）；
（3）構(gòu)造g₁（x）=cosx+sinx，θ=

π

2

，直接代入驗證即可．

解答：解：（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因為α-

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，cos(α-

π

4

)=

3

5

＞0，所以α-

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)，
所以sin(α-

π

4

)=

4

5

，…（4分）cos(2α-

π

2

)=2cos2(α-

π

4

)-1=-

7

25

，則sin2α=-

7

25

，…（5分）sin(2α-

π

2

)=2sin(α-

π

4

)cos(α-

π

4

)=

24

25

，則cos2α=-

24

25

，…（6分）
所以f(2α)=cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=-

31

50

2

．…（7分）
（3）令g₁（x）=cosx+sinx，θ=

π

2

，…（9分）
則g₁（x）•g₂（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x…（10分）
（注：令g1(x)=

2

cos(x-

π

4

)，θ=

π

2

；g1(x)=1+

2

sinx，θ=π等相應(yīng)給分．）（只構(gòu)造不證明本小問不得分．）

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，二倍角公式，以及構(gòu)造三角函數(shù)，綜合性比較強，屬于中檔題型．