Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，.
（1）求證，并指出異面直線PA與CD所成角的大小；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得？如果存在，求出此時三棱錐與四棱錐的體積比；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

解析試題分析：(1)要證明,只需證明面,利用面,推出,又因?yàn)榫匦?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1d/9/19w6q3.png" style="vertical-align:middle;" />,得到,從而易證面；若證得面，顯然與的角為直角；
（2）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，與交于點(diǎn)0，易證,使面,利用體積的轉(zhuǎn)化得到，，最終得到三棱錐與四棱錐的體積比.
試題解析：（1）∵，，
∴                      2分
∵四邊形為矩形，∴，
又，∴            4分
故，∴             5分
PA與CD所成的角為                6分
（2）當(dāng)點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)時，        6分
下面證明并求體積比：
取棱PD的中點(diǎn)E，連接BD與AC相交于點(diǎn)O，連接EO.
∵四邊形為矩形，∴O為BD的中點(diǎn)
又E為棱PD的中點(diǎn)，∴.
∵，
∴                    8分
當(dāng)E為棱PD的中點(diǎn)時，，
又，∴
考點(diǎn)：1.線線垂直于線面垂直的證明；2.體積的轉(zhuǎn)化.