Question

（1）設a＞0，解關于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0；
（2）對于任意給定的a≥2，由（1）所確定的y解集（用區間表示）記為I（a），我們規定：區間[m，n]的長度為n-m．如果I（a）的長度為r（a），試求當a取什么值時，r（a）取得最小值，并求r（a）的最小值及此時的I（a）．

Answer 1

分析：（1）由a＞0，解方程y²-2（

a

+

1

a

）y+1=0，得y₁=

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，y₂=

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

，由此能求出關于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0的解集．
（2）設y=x+

1

x

+1，利用導數能求出y=x+

1

x

+1在[2，+∞）內是增函數．故a≥2，r（a）=（

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

=2

a+ 1 a +1

≥

14

．由此能求出當a取什么值時，r（a）取得最小值，并能求出r（a）的最小值及此時的I（a）．

解答：解：（1）∵a＞0，y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0，
∴△=4（

a

+

1

a

）²-4=4（a+

1

a

+1）＞0，
解方程y²-2（

a

+

1

a

）y+1=0，
得y₁=

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，y₂=

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

，
∴關于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0的解集為：
[

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

]．
（2）設y=x+

1

x

+1，則y′=1-

1

x2

，當x≥2時，y′＞0，
∴y=x+

1

x

+1在[2，+∞）內是增函數．
∵a≥2，區間[m，n]的長度為n-m，
∴r（a）=（

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

）-（

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

）
=2

a+ 1 a +1

≥

14

．
當a=2時，r（a）取最小值

14

，
此時I（a）=[

3 2 - 14

2

，

3 2 + 14

2

]．

點評：本題以一元二次不等式為載體考查函數的性質及其應用，解題時要認真審題，注意構造法和導數性質的靈活運用．