Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n，若對(duì)于任意的a∈A，總有-aA，則稱集合A具有性質(zhì)P。
（1）檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；
（2）對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A，證明： n≤；
（3）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P
集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P，
其相應(yīng)的集合S和T是
S={（-1，3），（3，-1）}，
T={（2，-1），（2，3）}。
（2）首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111116/20111116141918359908.gif">，
所以；又
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，
從而，集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為，
即。
（3），證明如下：
（i）對(duì)于，根據(jù)定義，，且，
從而
如果與是S的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，
從而與中也至少有一個(gè)不成立
故與也是T的不同元素
可見，S中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，
（ii）對(duì)于，根據(jù)定義，，，且，
從而
如果與是T的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，
從而與中也不至少有一個(gè)不成立，
故與也是S的不同元素
可見，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即，
由（i）（ii）可知，。