Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中．橢圓C：

x2

2

+y2=1的右焦點為F，右準線為l．
（1）求到點F和直線l的距離相等的點G的軌跡方程．
（2）過點F作直線交橢圓C于點A，B，又直線OA交l于點T，若

OT

=2

OA

，求線段AB的長；
（3）已知點M的坐標為（x₀，y₀），x₀≠0，直線OM交直線

x0x

2

+y0y=1于點N，且和橢圓C的一個交點為點P，是否存在實數λ，使得

OP

2=λ

OM

•

ON

？，若存在，求出實數λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程確定點F的坐標和直線l的方程，利用到點F和直線l的距離相等，建立等式，化簡可得點G的軌跡方程；
（2）由若

OT

=2

OA

，可得A的坐標，從而可求線段AB的長；
（3）假設存在實數λ滿足題意，確定直線OM、ON的方程，表示出N，P的坐標，利用

OP

2=λ

OM

•

ON

，即可求得結論．

解答：解：（1）由橢圓方程為

x2

2

+y2=1
可得a²=2，b²=1，c=1，F（1，0），l：x=2．
設G（x，y），則由題意可知

(x-1)2+y2

=|x-2|，
化簡得點G的軌跡方程為y²=-2x+3．…（4分）
（2）由題意可知x_A=x_F=c=1，
故將x_A=1代入

x2

2

+y2=1，
可得|yA|=

2

2

，從而AB=

2

．   …（8分）
（3）假設存在實數λ滿足題意．
由已知得OM：y=

y0

x0

x①

x0x

2

+y0y=1②
橢圓C：

x2

2

+y2=1③
由①②解得xN=

2x0

x02+2y02

，yN=

2y0

x02+2y02

．
由①③解得xP2=

2x02

x02+2y02

，yP2=

2y02

x02+2y02

．              …（12分）
∴

OP

2=xP2+yP2=

2x02

x02+2y02

+

2y02

x02+2y02

=

2(x02+y02)

x02+2y02

，

OM

•

ON

=x0xN+y0yN=

2x02

x02+2y02

+

2y02

x02+2y02

=

2(x02+y02)

x02+2y02

．
∵

OP

2=λ

OM

•

ON

∴可得λ=1滿足題意．                                  …（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查軌跡方程的求解，考查向量知識的運用，屬于中檔題．