Question

已知函數y=f(x)對任意x，yÎR均有f(x)＋f(y)=f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，．

(1)判斷并證明f(x)在R上的單調性；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值．

Answer 1

答案：略
解析：

抽象函數的性質要緊扣定義，并同時注意特殊值的應用． 解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得 f(－x)=－f(x)，在R上任取，則， ． ∵，∴． 又∵x＞0時，f(x)＜0，∴， 即． 由定義可知f(x)在R上為單調遞減函數． (2)∵f(x)在R上是減函數． ∴f(x)在[－3，3]上也是減函數． ∴f(－3)最大，f(3)最小． f(3)=f(2)＋f(1)=f(1)＋f(1)＋f(1) ． ∴f(－3)=―f(3)=2． 即f(x)在[－3，3]上最大值為2，最小值為－2．

提示：

①證明函數的單調性，必須用定義嚴格證明，不能用特殊值去檢驗，判斷函數的最值，往往從單調性入手． ②對于本題所給的抽象函數的性質f(x＋y)=f(x)＋f(y)，可先找到它的一個原型函數f(x)=kx，又，可知，進而可以幫助我們快速解題．