Question

（2012•普陀區一模）設點F是拋物線L：y²=4x的焦點，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）是拋物線L上的n個不同的點n（n≥3，n∈N^*）
（1）若拋物線L上三點P₁、P₂、P₃的橫坐標之和等于4，求|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|的值；
（2）當n≥3時，若

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

，求證：|

FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|   =2n；
（3）若將題設中的拋物線方程y²=4x推廣為y²=2px（p＞0），請類比小題（2），寫出一個一般化的命題及其逆命題，并判斷其逆命題的真假．若是真命題，請予以證明；若是假命題，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用拋物線的定義，結合x₁+x₂+x₃=4，可得結論；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=n，從而可證

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=2n
（3）當n≥3時，若

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

，求證：|

FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=np；
逆命題：當n≥3時，“若|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPN

|=np，則

FP1

+

FP2

+…+

FPN

=

0

”
取n=4時，拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，從而可得結論．

解答：解：（1）拋物線l的焦點為F（1，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分別過P₁、P₂、P₃作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，
∴|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）+（x₃+

p

2

）=x₁+x₂+x₃+3
∵x₁+x₂+x₃=4，∴|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|=7
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）+…+（x_n+1）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+n
∵

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=n
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=n+n=2n
（3）當n≥3時，若

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

，求證：|

FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=np；
逆命題：當n≥3時，“若|

FP1

|+| 

FP2

|+…+|  

FPN

|=np，則

FP1

+

FP2

+…+

FPN

=

0

”
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=（x₁+

p

2

）+（x₂+

p

2

）+（x₃+

p

2

）+…+（x_n+

p

2

）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+

np

2

∵

FP1

+

FP2

+…+

FPn

=

0

           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=

np

2

∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FPn

|=

np

2

+

np

2

=np
逆命題為假命題：取n=4時，拋物線l的焦點為F（

p

2

，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴

|FP1

|+|

FP2

|+…+|

FP4

|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取P1(

p

4

，

2 p

2

)，P2(

p

2

，p)，P3(

p

2

，-p)，P4(

3p

4

，

6 p

2

)，則

FP1

+

FP2

+…+

FP4

≠

0

故P1(

p

4

，

2 p

2

)，P2(

p

2

，p)，P3(

p

2

，-p)，P4(

3p

4

，

6 p

2

)是一個當n=4時，該逆命題的一個反例．

點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運算，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，難度較大．