Question

【題目】已知函數.

（1）求的值；

（2）若函數在區間是單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（3）若關于的方程在區間內有兩個實數根，記，求實數的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

分析：(1)先根據二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數，再代入求的值；(2)根據正弦函數性質確定單調性遞增區間，再根據區間之間包含關系列不等式，解得實數的取值范圍；(3)先根據正弦函數圖像確定a的取值范圍，再根據對稱性得，最后代入求實數的取值范圍.

詳解：

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由，

得，

∴在區間上是增函數

∴當時，在區間上是增函數

若函數在區間上是單調遞增函數，則

∴，解得

（Ⅲ）方程在區間內有兩實數根等價于直線與曲線 有兩個交點.

∵當時，由（Ⅱ）知在上是增函數，在上是減函數，且，，，

∴

即實數的取值范圍是

∵函數的圖像關于對稱

∴，∴

∴實數的取值范圍為.