Question

（14分）設函數.
（1）當時，求的極值；
（2）當時，求的單調區間；
（3）若對任意及，恒有成立，求的取值范圍

Answer 1

（Ⅰ）的極小值為，無極大值 .
（Ⅱ）當時，的遞減區間為；遞增區間為.
當時，在單調遞減.
當時，的遞減區間為；遞增區間為.
（Ⅲ） .

試題分析：（1）將a=0代入函數解析式中可知，函數的導數，然后運用導數的符號與單調性的關系求解單調區間，并得到極值。
（2）當a>0時，利用導函數，對于參數a，進而分類討論研究其單調性，看開口和判別式得到。
(3)要證明不等式恒成立，只要利用第二問的結論根據最大值和最小值得到求解。
解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.
當時， ，.
令，解得.
當時，；當時， .
又，
所以的極小值為，無極大值 . …………………………（4分）
（Ⅱ）

當時，，
令，得或，
令，得；
當時，得，
令，得或，
令，得；
當時，.
綜上所述，當時，的遞減區間為；遞增區間為.
當時，在單調遞減.
當時，的遞減區間為；遞增區間為.
…………………………………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，在單調遞減.
當時，取最大值；當時，取最小值.
所以
.………………（11分）
因為恒成立，
所以，
整理得.
又 所以，
又因為 ，得，
所以
所以 . ……………………………………………………………（14分）
點評：解決該試題的關鍵是對于含有參數的導數的符號的確定，需要分類討論思想來得到。