Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=

3

，BD=CD=1，另一個側面是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大�。�
（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：根據三垂線定理可得：作AH⊥面BCD于H，連DH．由長度計算可得：BHCD是正方形，所以DH⊥BC，則AD⊥BC．
方法二：證明異面直線垂直，也可以先證明直線與平面垂直：取BC的中點O，連AO、DO，則有AO⊥BC，DO⊥BC，所以BC⊥面AOD
（2）二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，再根據余弦定理即可求得cos∠BMN的大�。�
（3）直線與平面所成的角，需先作出平面的垂線：設E是所求的點，作EF⊥CH于F，連FD．則EF∥AH，所以EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角，則∠EDF=30°．

解答：解：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，連DH．
AB⊥BD?HB⊥BD，又AD=

3

，BD=1
∴AB=

2

=BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，則BHCD是正方形，
則DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二：取BC的中點O，連AO、DO
則有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，因為AB=AC=BC=

2

∵M是AC的中點，則BM=

6

2

，MN=

1

2

CD=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

，由余弦定理可求得cos∠BMN=

6

3

∴∠BMN=arccos

6

3

（3）設E是所求的點，作EF⊥CH于F，連FD．則EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角，
則∠EDF=30°．
設EF=x，易得AH=HC=1，則CF=x，FD=

1+x2

，
∴tan∠EDF=

EF

FD

=

x

1+x2

=

3

3

解得x=

2

2

，
則CE=

2

x=1
故線段AC上存在E點，且CE=1時，ED與面BCD成30°角．

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．