Question

（本題滿分14分）

    設函數，其中

   （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

   （Ⅱ）是否存在負數，使對一切正數都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）曲線在點處的切線的方程為

（Ⅱ）負數存在，它的取值范圍為

【解析】解：（Ⅰ）由題意可知，當時，

    則…………2分

    曲線在點處的切線斜率…………3分

    曲線在點處的切線的方程為

    即…………5分

   （Ⅱ）設函數…………6分

    假設存在負數，使得對一切正數都成立。

    即：當時，的最大值小于等于零。

    …………9分

    令可得：

    （舍）…………11分

    當時，單增；

    當時，單減，

    所以在處有極大值，也是最大值。

    解得：…………13分

    所以負數存在，它的取值范圍為…………14分