Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的極值；

（2）若對于任意實數，當時，函數的最大值為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）

【解析】

（1）當時，，求其導函數，由導函數在不同區間內的符號判斷原函數的單調性；

（2）由題意．當時，由原函數的單調性可得不存在實數，使得當，時，函數的最大值為（b）；當時，令，有，，然后分，和三類求解．

解：（1）當時，，則，

整理得，

令得當變化時，變化如下表：

		極大值		極小值

由上表知函數的極大值為，極小值為.

（2）由題意，

1°當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，此時，不存在實數，使得當時，函數的最大值為.

2°當時，令，有，，

①當時，函數在上單調遞增，顯然符合題意.

②當即時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值且，只需，解得，又，所以此時實數的取值范圍是.

③當即時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，要存在實數，使得當時，函數的最大值為，需，

代入化簡得

令，因為恒成立，

故恒有，所以時，恒成立，

綜上，實數的取值范圍是