Question

（本題滿分14分）

　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。

　　(I)證明 平面；

　　(II)證明平面EFD；

　　(III)求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

 

方法一：

　　(I)證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。

　　底面ABCD是正方形，點O是AC的中點

　　在中，EO是中位線，。

　　而平面EDB且平面EDB，

　　所以，平面EDB。

　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，

　　 ① 　　同樣由底面ABCD，得

　　底面ABCD是正方形，有平面PDC

　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分

　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，

　　又且，所以平面EFD

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

　　由(II)知， 設正方形ABCD的邊長為，則

　　 在中，

　　 　在中，

　　 所以，二面角的大小為

 

　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設

　　(I)證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。 依題意得

　　底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 　故點G的坐標為且

　　

　　。這表明。

　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

 

　　(II)證明：依題意得。又故

　　　

　　由已知，且所以平面EFD。

 

　　(III)解：設點F的坐標為則

　　

　　從而所以

　　

　　由條件知，即

　　解得 。

　　點F的坐標為且

　　

　　

　　即，故是二面角的平面角。

　　且

　　

 

 

 

【解析】略