Question

在平面直角坐標系xOy中，點P（0，-1），點A在x軸上，點B在y軸非負半軸上，點M滿足：=2，=0
（Ⅰ）當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設Q為曲線C上一點，直線l過點Q且與曲線C在點Q處的切線垂直，l與C的另一個交點為R，若以線段QR為直徑的圓經巡原點，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設A坐標是（a，0），M坐標是（x，y），B（0，b），則=（x-a，y），=（-a，b），=（a，1）
∵=2，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）設Q（m，2m²），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k=-
∴直線l的方程為y-2m²=-（x-m）
與y=2x²聯立，消去y可得2x²+x-2m²-=0，該方程必有兩根m與x_R，且mx_R=-m²-
∴（2m²）y_R=4（-m²-）²
∵，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-+4（-m²-）²=0，∴m=±
∴直線l的方程為．
分析：（Ⅰ）利用=2，可得坐標之間的關系，利用=0，即可求得C的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程與y=2x²聯立，利用韋達定理，結合，可得結論．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，正確運用向量知識是關鍵．