Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），
（Ⅰ）若函數f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞x+k在區間[-3，-1]恒成立，試求k的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的圖象在x軸上截得的弦的長度為m，且 0＜m≤2，試確定c-b的符號．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知得a=1，b=2，所以f（x）=（x+1）²，由此能夠求出F（2）+F（-2）的值．
（Ⅱ）由x²+x+1-k＞0在區間[-3，-1]恒成立，知k＜x²+x+1在區間[-3，-1]上恒成立，由此入手能夠求出k的取值范圍．
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，設方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數的關系結合題設條件能夠確定c-b的符號．
解答：解：（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且．
解得a=1，b=2，
∴f（x）=（x+1）²，∴，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，f（x）＞x+k在區間[-3，-1]恒成立，即x²+x+1-k＞0在區間[-3，-1]恒成立，
從而k＜x²+x+1在區間[-3，-1]上恒成立，
令函數p（x）=x²+x+1，
則函數p（x）=x²+x+1在區間[-3，-1]上是減函數，且其最小值p（x）_min=p（-1）=1，
∴k的取值范圍為（-∞，1）
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，
∵a＞0∴b=-2a＜0，
設方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，則，，
∴，
∵0＜m≤2，∴，∴，
∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，
∴c-b＞0
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意隱含條件的合理運用．